MODUL BARISAN DAN DERET

A. Deskripsi

Dalam modul ini, anda akan mempelajari pola bilangan, barisan, dan deret identifikasi berdasarkan ciri-cirinya. Notasi sigma dan penggunaannya dalam menyederhanakan penulisan suatu deret. Barisan dan deret aritmatika diidentifikasikan berdasarkan ciri-cirinya, nilai unsur ke n suatu barisan aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus. Barisan dan deret geometri diidentifikasikan berdasarkan ciri-cirinya, nilai unsur ke n suatu barisan geometri ditentukan dengan menggunakan rumus, jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus, jumlah takhingga deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus.

1. Kegiatan Belajar 1

Pola Bilangan, Barisan, Deret dan Notasi Sigma a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat:

? menentukan pola suatu deretan bilangan,

? menentukan unsur ke n suatu barisan berdasarkan sifat/pola yang dimiliki,

? menentukan n unsur pertama suatu barisan jika rumus unsur ke n barisan itu diketahui,

? menentukan suku ke n suatu barisan berdasarkan sifat/pola yang dimiliki oleh barisan yang terkait,

? menentukan n suku pertama suatu deret jika rumus suku ke n deret itu diketahui,

? menyatakan suatu penjumlahan dengan menggunakan notasi sigma,

? menentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma,

? memahami beberapa sifat pada notasi sigma.

b. Uraian Materi

Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:

a.	1	2	3	...
b.	4	9	16	...

c. 31 40 21 30 16 ...

Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang dipunyai?

Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2, bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 +

1 = 3. Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.

Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 2, mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 22 = 4, bilangan ke 2 = (2 +

1)2 = 32 = 9, bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 42 = 16. Jadi bilangan ke 4 = (4 +

1)2 = 52 = 25.

Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3, mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama - 10 = 31 - 10 = 21, bilangan ke 4 = bilangan ke 2 - 10 = 40 - 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan

ke 3 - 5 = 21 - 5 = 16,. Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 - 5 = 30 - 5 = 25.

Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai contoh, pada deretan bilangan nomor 2, bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n

= 1, 2, 3, 4.

Selanjutnya kita akan membicarakan deretan bilangan dengan pola khusus yang disebut barisan dan deret.

Definisi

Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan

semua bilangan asli (? ) dan kodomain himpunan semua bilangan real (? ). Jika

U merupakan fungsi dari ? ke ? , maka barisannya sering ditulis dengan U1,

U2, U3, ..., Un, .... Pada barisan U1, U2, U3, ..., Un, ... , Un disebut unsur ke

n atau elemen ke n dari barisan itu.

Contoh 1.1

1. 1, 2, 3,... merupakan barisan dengan unsur ke n dari barisan itu adalah Un

= n.

2. 1, -1, 1, -1,.... adalah barisan dengan unsur ke n dari barisan itu adalah

Un = (-1)n.

Definisi

Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real, maka

U1 + U2 + U3,... + Un +... disebut deret, dan Un disebut suku ke n barisan itu.

Contoh 1.2

1) 1 + 2 + 3 +..., maka suku ke n barisan itu adalah Un = n.

2) 1 + (-1) + 1+ (-1) + ...., maka suku ke n dari deret itu adalah Un =

(-1)n.

3) 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +..., maka ke 7 dari barisan itu adalah 13.

Notasi Sigma

Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3. 1 + 1 + 1 .

3 9 27

4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi

(dibaca: sigma), Sehingga jumlahan bilangan diatas dapat ditulis kembali :

Beberapa sifat notasi sigma

Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c

, maka berlaku :

c. Rangkuman 1

1. Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan disebut pola bilangan pada deretan itu.

2. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli (N) dan kodomain himpunan semua bilangan real (R). Jika U merupakan fungsi dari N ke R, maka barisannya sering ditulis dengan U1, U2, U3,..., Un,.... Pada barisan U1, U2, U3,..., Un,..., Un disebut unsur ke n atau elemen ke n dari barisan itu.

3. Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real, maka U1 + U2 + U3,... + Un +...disebut deret, dan Un disebut suku ke n barisan itu.

4. Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi

(dibaca: sigma).

d. Tugas 1

1. Tentukan suku yang dicantumkan di akhir barisan dan juga suku ke-n dari setiap barisan berikut:

a. 13, 9, 5, ....,

b. 25, 21, 17, 13, ...,

c. -10, -8, -6, -4, ...,

2. Tentukan bentuk notasi sigma dari setiap deret berikut :

a. 2 + 5 + 8 + ... + 119

b. 100 + 90 + 80 + ... + 0

c. 4 + 1 +

+ ...

3. Hitunglah deret-deret berikut :

2. Kegiatan Belajar 2:

Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika a. Tujuan Kegiatan pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan Anda dapat:

? memahami barisan aritmatika,

? menentukan unsur ke n suatu barisan aritmatika,

? memahami deret aritmatika,

? menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika.

b. Uraian Materi

Kadang-kadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada barisan

1, 2, 3, 4, …, selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: ke 1 dengan ke 2,

ke 2 dengan ke 3, ke n dengan ke n + 1, dan seterusnya adalah tetap, yaitu sama dengan 1. Barisan semacam ini disebut barisan aritmatika. Secara matematik, pengertian barisan arimatika dapat dituliskan sebagai berikut.

Definisi

Barisan U1, U2, U3,..., Un,... disebut barisan aritmatika jika

Un - Un-1 = konstan,

dengan n = 2, 3, 4,.... Konstanta pada barisan aritmatika di atas disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan b, dan U1 sering dinotasikan dengan a.

Contoh 2.1

1. 1, 2, 3,... merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1.

2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2.

3. 1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmatika sebab

U2 – U1 = -1 – 1 = -2 ? 2 = 1 – (-1) = U3 – U2

Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika

Jika U1 = a, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan aritmatika, maka unsur

ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.

U1 = a

U2 = a + b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Un = a + (n -1)b

Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah:

Un = a + (n -1)b

Contoh 2.2

Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.

Penyelesaian:

Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n -1)b, diperoleh

U2 = a + (2-1)b

U2 = a + b a = U2 - b

= 10 - 2

= 8

U7 = a + (7-1) b

= a + 6 b

= 8 + 6 (2)

= 8 + 12

= 20.

Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.

Contoh 2.3

Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun

2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005?

Penyelesaian:

Misalkan:

a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.

b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun.

P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005. Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari.

Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika dengan

U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.

P2005 = U6 = a + 5b

= 6.000.000 + 5(500.000)

= 6.000.000 + 2.500.000

= 8.500.000.

Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005

adalah Rp 8.500.000,-

Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika.

Definisi

Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka, maka

U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....

disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu.

Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika U1 + U2 +

U3 + ... + Un, ...., maka Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut.

Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + a

Sn = a + (a - b) + (a + 2b) +..... + Un

2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) +... + (a + Un), sebanyak n suku.

2 Sn = n. (a + Un)

Sn =

Jadi Sn =

atau Sn =

c. Rangkuman 2

1. Barisan U1, U2, U3, ..., Un, .... disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 = konstan. Un disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut disebut beda, yang dinotasikan dengan b.

2. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka dengan beda b

dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari barisan itu adalah

Un = a + (n - 1)b

3. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu.

4. Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U1 = a

adalah Sn =

atau Sn =

d. Tugas 2

1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika dibawah ini :

a. 3, 6, 9, 12, ...

b. 1, 6, 11, 16, ...

c. -15, -8, -1, 6, ...

2. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmatika berikut :

a. 1, 4, 7, 10, ..., suku ke-50

b. 25, 21, 17, 13, ..., suku ke-20

c. -10, -8, -1, 6, ..., suku ke-50

3. Tentukan nilai dari:

a. 2 + 7 + 12 +.... + 297

b. 30 + 26 + 22 +... + 2.

4. Tentukan x jika:

a. 100 + 96 + 92 + … + x = 0.

b. 1 + 4 + 7 + … + x = 835.

e. Tes Formatif 1

Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan aritmatika?

1. - 1 , 3, -12, 48, .....

2. a, a + x2, a + 2x2, a + 3x2, .....

Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.

3. 1, -1, -3, -5,....; n = 15.

4. 4, 8, 12,....; n = 50.

Hitunglah:

5. 30 + 25 + 20 +... + (-40).

6. 2 + 10 + 18 +... + 72.

7. Suku ke 5 suatu deret aritmatika adalah 22, jumlah suku ke 7 dengan suku

ke 2 adalah 39. Tentukan jumlah 5 suku pertamanya.

Tentukan suku pertama dan beda dari barisan aritmatika yang mempunyai:

8. U6 = 5; U12 = -13.

9. U13 = 8; U17 = 48.

10. U7 = 14; U10 = 20.

3. Kegiatan Belajar 3

Barisan Geometri dan Deret Geometri a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 3, diharapkan Anda dapat:

? memahami barisan geometri,

? menentukan unsur ke n suatu barisan geometri,

? memahami deret geometri,

? menentukan jumlah n suku pertama deret geometri,

? menentukan jumlah deret geometri tak hingga.

b. Uraian Materi

Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan U1

= a dan rasio r dapat diturunkan dengan cara berikut.

U1 = a

U2 = a r

U3 = U2 r = (a r)r = ar2

U4 = U3 r = (a r2)r = ar3

Un = Un-1 r = arn-1

Jadi rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan

U1 = a dan rasio r adalah:

Un = ar n-1

Definisi

Jika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan geometri dengan unsur

pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un + .... disebut deret geometri dengan Un = ar n-1

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a

dan rasio r, dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut. Misalkan Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un, maka

Sn = a + ar2 + ar3 + ..... + arn-1

r Sn = ar + ar3 + ar4 + ..... + arn-1 + arn

Sn - r Sn = a - arn

(1 - r) Sn = (1 -rn)a

Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama

a dan rasio r adalah

untuk r < 1 atau

untuk r > 1

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1

Jumlah deret geomatri tak hingga adalah :

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga ada dua kasus :

1. Jika -1 < r < 1, maka rⁿ menuju 0 akibatnya

Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat)

2. Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n

nilai rⁿ makin besar akibatnya

Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 disebut deret geometri divergen (memencar)

Contoh 3.1

Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, .... Tentukanlah :

a. Rumus suku ke-n

b. Suku ke-8

Jawab :

a. Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r =

sehingga barisan tersebut adalah barisan geometri.

Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah

= 3³.(3^-1)^n-1

= 3³.3^{-n + 1}

= 3^{4 – n}

b. Suku ke-8 barisan geometri tersebut adalah U₈ = 3^{4 – 8}

= 3^-4

Contoh 3.2

Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut.

Jawab :

U₂ = 8, berarti ar = 8

U₃ = 64, berarti ar⁴ = 64

ar.r³ = 64

8r³ = 64

r³ = 8

didapat r = 2

dengan mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, akan didapatkan a.2 = 8 sehingga a= 4.

Jumlah n suku pertama deret ini adalah

= 4.2ⁿ – 4

= 2².2ⁿ – 4

= 2^{2 + n} – 4

Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S₁₀ = 2²⁺¹⁰ – 4

= 2¹² – 4

= 4096 – 4

= 4092

c. Rangkuman 3

1. Barisan U1, U2, U3,..., Un,...disebut barisan geometri jika

konstan

dengan n = 2, 2, 3,.... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut

rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.

2. Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan

U1 = a dan rasio r adalah:

Un = arn-1

3. Jika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan geometri dengan unsur pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka

U1 + U2 + U3 + ... + Un + ....disebut deret geometri dengan

Un = arn-1

4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:

untuk r < 1 atau

untuk r > 1

Jika n menuju tak hingga Sn berhingga, maka deret yang bersangkutan

disebut deret konvergen, dan jika tidak demikian disebut deret divergen.

5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah S_n =

d. Tugas 3

1. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri pada setiap soal berikut :

a. 2, 4, 8, 16, ..., U₁₂

b. 3, -9, 27, -81, ..., U₁₀

U₅

2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut :

a. 1, 2, 4, ...

3. Diketahui deret geometri :

Tentukan :

a. Rasio

b. Suku ke-10

c. Jumlah 10 suku pertama

4. Diketahui deret geometri suku ke-3 adalah 16 dan suku ke-5 sama dengan 64. Tentukan :

a. rasio

b. rumus jumlah n suku pertama

e. Tes Formatif 3

Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan aritmatika?

1. 1,3,9,27,...

Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.

3. 2, -4, 8, ..., n = 10

Hitunglah:

5. 2 – 6 + 18 .... sampai 10 suku

6. 3 + 1 +

+ ... sampai tak hingga

7. Dari ketinggian 2 m sebuah bola dijatuhkan ke lantai. Setiap kali memantul ketinggian bola tersebut tinggal 3/5 dari tinggi sebelumnya. Berapakah jarak yang yang ditempuh bola selama 10 kali pantulan

8. Diketahui jumlah n suku pertama deret geometri adalah S_n=5(2ⁿ – 1)

Tentukan :

a. Suku pertama dan rasio

b. Rumus suku ke-n

BAB III. EVALUASI

1. Banyaknya suku suatu deret aritmatika adalah 15. Suku terakhir adalah 47 dan jumlah deret tersebut 285. Tentukan suku pertama deret tersebut.

2. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 sampai 50 yang tidak habis dibagi 3.

3. Suku kedua deret geometri adalah 12, dan suku ke-8 adalah 96, dan suku ke-n adalah 160. Jika suku-suku deret geometri tersebut merupakan suku positif, tentukan jumlah n suku pertama deret tersebut.

4. Pada barisan bilangan 4, x, y, z diketahui tiga suku pertama membentuk barisan geometri dan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai x + y.

5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 1 meter. Setiap kali sesudah jatuh mengenai lantai, bola itu dipantulkan lagi dan mencapai ¾ dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang seluruh jalan yang dilalui bola itu sampai berhenti.

BAB IV. PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk enguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.