MODUL BARISAN DAN DERET
A. Deskripsi
Dalam modul ini,
anda akan mempelajari
pola bilangan, barisan, dan deret identifikasi berdasarkan ciri-cirinya.
Notasi sigma dan penggunaannya
dalam menyederhanakan penulisan suatu deret. Barisan dan deret aritmatika diidentifikasikan berdasarkan
ciri-cirinya,
nilai unsur
ke n suatu
barisan aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus, jumlah n suku pertama
suatu deret aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus. Barisan dan deret
geometri diidentifikasikan berdasarkan ciri-cirinya,
nilai unsur ke n suatu
barisan geometri ditentukan dengan menggunakan rumus, jumlah n suku
pertama suatu deret geometri ditentukan dengan
menggunakan
rumus,
jumlah takhingga deret geometri ditentukan
dengan menggunakan rumus.
1. Kegiatan Belajar 1
Pola Bilangan, Barisan, Deret dan Notasi Sigma a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini,
diharapkan anda dapat:
? menentukan pola suatu deretan bilangan,
? menentukan unsur
ke n suatu barisan
berdasarkan sifat/pola yang
dimiliki,
? menentukan n unsur pertama suatu barisan jika rumus unsur ke n barisan itu diketahui,
? menentukan suku ke n
suatu barisan
berdasarkan sifat/pola yang dimiliki
oleh barisan yang terkait,
? menentukan
n suku pertama suatu deret jika rumus suku ke n
deret itu diketahui,
? menyatakan suatu penjumlahan dengan menggunakan notasi
sigma,
? menentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan
dalam notasi sigma,
? memahami beberapa sifat pada notasi sigma.
b. Uraian Materi
Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:
a.
|
1
|
2
|
3
|
...
|
b.
|
4
|
9
|
16
|
...
|
c.
31 40 21 30 16 ...
Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda
menentukan bilangan
yang belum
diketahui sesuai
dengan aturan
yang dipunyai?
Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan
nomor 1, mempunyai aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2, bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 +
1 = 3. Jadi bilangan
ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.
Pada
b, bilangan ke 4 adalah
25,
sebab
deretan
bilangan
nomor
2,
mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 22 = 4, bilangan ke 2 = (2 +
1)2 = 32 = 9, bilangan
ke 3 = (3 + 1)2 = 42 = 16. Jadi bilangan ke 4 = (4 +
1)2 = 52 = 25.
Pada c, bilangan ke
6
adalah 25,
sebab deretan
bilangan nomor
3, mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama - 10 = 31
- 10 = 21, bilangan ke 4 = bilangan ke 2 - 10 = 40 - 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan
ke
3 - 5 = 21 - 5 = 16,. Jadi bilangan
ke 6 = bilangan ke 4 - 5 = 30 - 5 = 25.
Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan
di atas disebut pola bilangan pada deretan
itu. Pola
sebuah deretan
bilangan tidak
tunggal. Sebagai
contoh, pada deretan
bilangan nomor 2, bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n
= 1, 2, 3, 4.
Selanjutnya kita akan
membicarakan deretan bilangan
dengan pola
khusus yang disebut barisan dan deret.
Definisi
Barisan bilangan real
adalah suatu fungsi dengan domain himpunan
semua
bilangan asli (?
) dan kodomain himpunan semua
bilangan real (? ). Jika
U merupakan fungsi dari ? ke ? , maka barisannya sering ditulis
dengan U1,
U2, U3, ..., Un, .... Pada barisan
U1, U2, U3,
..., Un,
... , Un disebut unsur ke
n atau elemen ke n dari barisan itu.
Contoh 1.1
1. 1, 2, 3,...
merupakan barisan dengan unsur ke n
dari barisan itu adalah Un
= n.
2. 1, -1, 1, -1,....
adalah
barisan dengan unsur ke n dari
barisan itu adalah
Un = (-1)n.
Definisi
Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan
barisan bilangan real, maka
U1 + U2 + U3,... + Un +... disebut deret, dan Un disebut suku ke n barisan itu.
Contoh 1.2
1) 1 + 2 + 3 +..., maka
suku ke n barisan itu
adalah Un = n.
2) 1 + (-1) + 1+ (-1) +
...., maka suku ke
n dari deret itu adalah
Un =
(-1)n.
3) 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +..., maka ke 7 dari barisan
itu adalah 13.
Notasi Sigma
Perhatikan
jumlahan bilangan-bilangan berikut.
1.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.



3 9 27
4.
1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Jumlahan bilangan-bilangan
dari deretan bilangan yang mempunyai
pola dapat dituliskan dengan notasi
(dibaca: sigma), Sehingga jumlahan bilangan diatas
dapat ditulis kembali :

1. 

2. 

3. 

4. 

Beberapa sifat notasi sigma
Jika m dan n adalah bilangan asli,
dengan m ≤ n dan c
, maka berlaku :

1. 

2. 



3. 

4. 

5.

c. Rangkuman 1
1. Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan
disebut pola bilangan
pada deretan itu.
2. Barisan
bilangan
real
adalah suatu fungsi
dengan domain
himpunan semua bilangan asli (N) dan
kodomain himpunan semua
bilangan real (R). Jika U merupakan fungsi
dari N ke
R, maka
barisannya sering ditulis
dengan U1, U2, U3,..., Un,.... Pada
barisan U1, U2, U3,..., Un,..., Un disebut unsur ke n atau elemen ke n dari barisan itu.
3. Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real, maka U1 +
U2 + U3,... + Un +...disebut deret, dan Un disebut suku ke n barisan itu.
4. Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola
dapat dituliskan dengan notasi
(dibaca: sigma).

d. Tugas 1
1. Tentukan
suku yang dicantumkan di akhir barisan dan juga suku ke-n dari setiap barisan
berikut:
a. 13, 9, 5,
...., 

b. 25, 21,
17, 13, ..., 

c. -10, -8,
-6, -4, ..., 

2. Tentukan bentuk notasi sigma dari setiap deret
berikut :
a. 2 + 5 + 8
+ ... + 119
b. 100 + 90
+ 80 + ... + 0
c. 4 + 1 +
+ ...

3. Hitunglah
deret-deret berikut :
a. 

b. 

c.


2. Kegiatan Belajar 2:
Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika a. Tujuan Kegiatan pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar
2, diharapkan Anda dapat:
? memahami barisan aritmatika,
? menentukan unsur
ke n suatu barisan aritmatika,
? memahami deret
aritmatika,
? menentukan jumlah n
suku pertama deret aritmatika.
b. Uraian Materi
Kadang-kadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada barisan
1, 2, 3, 4, …, selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: ke 1 dengan ke 2,
ke 2 dengan ke 3, ke n dengan ke n + 1, dan seterusnya adalah tetap, yaitu sama dengan 1. Barisan
semacam
ini
disebut
barisan aritmatika. Secara matematik, pengertian barisan
arimatika dapat dituliskan sebagai berikut.
Definisi
Barisan U1, U2, U3,..., Un,... disebut barisan
aritmatika jika
Un - Un-1 = konstan,
dengan n =
2, 3,
4,.... Konstanta
pada
barisan
aritmatika
di
atas
disebut
beda dari barisan
itu
dan
sering
dinotasikan
dengan
b, dan U1 sering dinotasikan dengan a.
Contoh 2.1
1. 1,
2, 3,...
merupakan barisan
aritmatika dengan beda, b = 1.
2. 1, 3, 5,
… merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2.
3. 1, -1, 1, -1,....
bukan barisan aritmatika sebab
U2 – U1 = -1 – 1 = -2 ? 2 = 1 – (-1) = U3 – U2
Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika
Jika U1 = a, U2,
U3,..., Un,... merupakan barisan aritmatika, maka unsur
ke n dari
barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.
U1 = a
U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a
+ b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a
+ 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a
+ 3b) + b = a + 4b
.
.
.
Un = a + (n -1)b
Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur
pertama a dan beda b adalah:
Un = a + (n -1)b
Contoh 2.2
Diketahui barisan aritmatika
dengan
unsur ke 2 adalah
10 dan beda = 2. Tentukan
unsur ke 7 barisan itu.
Penyelesaian:
Diketahui
U2 = 10, b
= 2. Dengan
menggunakan rumus Un = a + (n -1)b,
diperoleh
U2 = a + (2-1)b
U2 = a + b
a = U2 - b
= 10 - 2
= 8
U7 = a + (7-1) b
= a + 6 b
= 8 + 6 (2)
= 8 + 12
= 20.
Jadi
unsur ke 7 dari barisan adalah 20.
Contoh 2.3
Mulai
tahun
2000,
Pak
Arman
mempunyai
kebun
tebu.
Penghasilan
kebun
tebu
Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun
2001, Pak Arman memupuk
kebun tebunya dengan
pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan
penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir
tahun 2005?
Penyelesaian:
Misalkan:
a
= penghasilan kebun
tebu Pak Arman
pada akhir tahun
2000.
b = perkiraan kenaikan
penghasilan kebun tebu
Pak Arman setiap
akhir tahun.
P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu
2005. Jadi a = Rp
6.000.000,-, b = Rp 500.000,-,
dan P2005 akan
dicari.
Karena perkiraan kenaikan
penghasilan kebun tebu
Pak Arman
setiap akhir
tahun adalah
tetap, maka
untuk menentukan
penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan
rumus unsur ke n dari
barisan aritmatika dengan
U1 = a = a =
Rp 6.000.000,-, b = Rp
500.000.
P2005 = U6 = a + 5b
= 6.000.000 + 5(500.000)
= 6.000.000 + 2.500.000
= 8.500.000.
Jadi
perkiraan
penghasilan
kebun
tebu
Pak
Arman
pada
akhir
tahun
2005
adalah
Rp 8.500.000,-
Dengan adanya deret
aritmatika, kita dapat
membentuk barisan yang
terkait dengan deret tersebut. Barisan
demikian disebut barisan
aritmatika.
Definisi
Jika U1, U2, U3,
..., Un, .... merupakan
barisan aritmatka, maka
U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....
disebut
deret aritmatika. Un disebut suku
ke n dari deret itu.
Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama
deret aritmatika U1 + U2 +
U3 + ... +
Un,
...., maka
Sn = U1 + U2 + U3 + ... +
Un dapat diturunkan dengan
cara sebagai berikut.
Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + a
Sn = a + (a - b)
+ (a + 2b) +..... +
Un
+
2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) +... + (a + Un), sebanyak n suku.
2 Sn = n. (a + Un)
Sn = 

Jadi Sn =
atau Sn = 


c. Rangkuman 2
1. Barisan U1, U2, U3, ..., Un, .... disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 = konstan. Un disebut unsur ke n
barisan itu, dan konstanta tersebut disebut
beda, yang dinotasikan dengan b.
2. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan
barisan aritmatka dengan beda b
dan
unsur pertama U1 = a, maka rumus
unsur ke n dari
barisan itu adalah
Un = a + (n - 1)b
3. Jika U1,
U2, U3, ..., Un, .... merupakan
barisan aritmatka, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....disebut deret aritmatika. Un disebut suku
ke n dari deret
itu.
4. Jumlah n suku deret aritmatika
dengan beda b dan unsur pertama U1 = a
adalah Sn =
atau Sn = 


d. Tugas 2
1. Tentukan rumus
suku ke-n dari barisan aritmatika dibawah ini :
a.
3, 6, 9, 12, ...
b.
1, 6, 11, 16, ...
c.
-15, -8, -1, 6, ...
2.
Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmatika berikut :
a.
1, 4, 7, 10, ..., suku ke-50
b.
25, 21, 17, 13, ..., suku ke-20
c.
-10, -8, -1, 6, ..., suku ke-50
3.
Tentukan nilai dari:
a.
2 + 7 + 12 +....
+ 297
b.
30 + 26 + 22 +... + 2.
4. Tentukan x jika:
a.
100 + 96 + 92 + … + x = 0.
b. 1 +
4 + 7 + … + x = 835.
e. Tes
Formatif 1
Selidiki,
apakah barisan-barisan berikut
merupakan barisan aritmatika?

2
2. a, a + x2, a + 2x2, a + 3x2, .....
Tentukan
unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.
3.
1, -1, -3, -5,....; n = 15.
4. 4, 8, 12,....; n =
50.
Hitunglah:
5.
30 + 25 + 20 +... + (-40).
6.
2 + 10 + 18 +... + 72.
7.
Suku ke 5 suatu deret aritmatika adalah 22, jumlah suku ke 7 dengan suku
ke
2 adalah 39. Tentukan jumlah 5 suku pertamanya.
Tentukan suku pertama dan
beda dari barisan aritmatika yang mempunyai:
8.
U6 = 5; U12 = -13.
9.
U13 = 8; U17 = 48.
10. U7 =
14; U10 = 20.
3. Kegiatan Belajar 3
Barisan Geometri dan Deret Geometri a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar
3, diharapkan Anda dapat:
? memahami
barisan geometri,
? menentukan unsur
ke n suatu barisan geometri,
? memahami deret geometri,
? menentukan jumlah n
suku pertama deret
geometri,
? menentukan jumlah deret geometri tak hingga.
b. Uraian Materi
Rumus unsur ke n barisan geometri
U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan
U1
= a dan
rasio r dapat diturunkan dengan
cara berikut.
U1 = a
U2 = a r
U3 = U2 r = (a r)r =
ar2
U4 = U3 r = (a r2)r = ar3
.
.
.
Un = Un-1 r = arn-1
Jadi rumus
unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan
U1 = a dan rasio r adalah:
Un = ar n-1
Definisi
Jika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan
geometri dengan unsur
pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... +
Un + .... disebut deret geometri dengan
Un = ar n-1
Rumus jumlah
n suku
pertama deret geometri
dengan suku pertama a
dan
rasio r, dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut.
Misalkan Sn = U1 + U2 + U3 + ... +
Un, maka
Sn = a + ar2 + ar3 + ..... + arn-1
r Sn = ar + ar3 + ar4 + ..... + arn-1 + arn
Sn - r Sn = a - arn
(1 - r) Sn = (1 -rn)a
Jadi
rumus jumlah n suku pertama
deret geometri dengan suku pertama
a dan rasio r adalah


Deret geometri tak hingga adalah deret geometri
dengan | r | < 1
Jumlah deret geomatri tak
hingga adalah :


Rumus pada deret geometri
berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga ada dua kasus
:
1. Jika -1 < r < 1, maka rn menuju 0
akibatnya 

Deret geometri dengan -1 <
r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat)
2. Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n 
nilai rn
makin besar akibatnya



Deret geometri dengan r <
-1 atau r > 1 disebut deret geometri divergen (memencar)
Contoh 3.1
Diketahui barisan 27, 9, 3, 1,
.... Tentukanlah :
a. Rumus suku ke-n
b.
Suku ke-8
Jawab :
a. Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r =
sehingga barisan
tersebut adalah barisan geometri.

Rumus suku ke-n barisan
geometri tersebut adalah

= 33.(3-1)n-1
= 33.3-n + 1
= 34 – n
b.
Suku ke-8
barisan geometri tersebut adalah U8 = 34 – 8
= 3-4
= 

Contoh
3.2
Suatu
deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8.
Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri
tersebut.
Jawab :
U2
= 8, berarti ar = 8
U3
= 64, berarti ar4 = 64
ar.r3
= 64
8r3 = 64
r3 = 8
didapat r
= 2
dengan
mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, akan didapatkan a.2 = 8 sehingga a=
4.
Jumlah n
suku pertama deret ini adalah 

= 

= 4.2n – 4
= 22.2n – 4
= 22 + n – 4
Jumlah 10
suku pertama deret ini adalah S10 = 22+10 – 4
=
212 – 4
=
4096 – 4
=
4092
c.
Rangkuman 3
1. Barisan U1, U2, U3,..., Un,...disebut barisan geometri
jika
konstan

dengan n = 2, 2, 3,.... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut
rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.
2.
Rumus unsur ke n barisan
geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan
U1 = a dan rasio r adalah:
Un = arn-1
3. Jika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan
barisan geometri
dengan unsur
pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka
U1 + U2 + U3 + ... + Un + ....disebut
deret geometri dengan
Un = arn-1
4. Rumus jumlah n suku
pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:


Jika n menuju
tak hingga
Sn berhingga, maka deret yang bersangkutan
disebut deret konvergen, dan
jika tidak demikian disebut deret divergen.
5. Jumlah
tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah Sn
= 

d. Tugas 3
1. Tentukan suku yang diminta dari
barisan geometri pada setiap soal berikut :
a.
2, 4, 8, 16, ..., U12
b. 3, -9, 27, -81, ..., U10
c.
U5

2.
Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut :
a. 1, 2, 4, ...
b. 

c. 

3.
Diketahui deret geometri : 

Tentukan :
a.
Rasio
b.
Suku
ke-10
c.
Jumlah
10 suku pertama
4. Diketahui deret geometri suku ke-3
adalah 16 dan suku ke-5 sama dengan 64. Tentukan :
a.
rasio
b.
rumus jumlah n suku pertama
e. Tes Formatif 3
Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan
aritmatika?
1.
1,3,9,27,...
2.

Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang
diketahui.
3.
2, -4, 8, ..., n = 10
4. 

Hitunglah:
5.
2 – 6 + 18 .... sampai 10 suku
6.
3 + 1 +
+
+ ... sampai tak
hingga


7. Dari ketinggian 2 m sebuah bola
dijatuhkan ke lantai. Setiap kali memantul ketinggian bola tersebut tinggal 3/5
dari tinggi sebelumnya. Berapakah jarak yang yang ditempuh bola selama 10 kali
pantulan
8. Diketahui jumlah n suku pertama
deret geometri adalah Sn=5(2n – 1)
Tentukan
:
a.
Suku
pertama dan rasio
b.
Rumus
suku ke-n

1. Banyaknya suku suatu deret
aritmatika adalah 15. Suku terakhir adalah 47 dan jumlah deret tersebut 285.
Tentukan suku pertama deret tersebut.
2. Tentukan jumlah semua
bilangan asli antara 1 sampai 50 yang tidak habis dibagi 3.
3. Suku kedua deret geometri
adalah 12, dan suku ke-8 adalah 96, dan suku ke-n adalah 160. Jika suku-suku
deret geometri tersebut merupakan suku positif, tentukan jumlah n suku pertama
deret tersebut.
4. Pada barisan bilangan 4, x,
y, z diketahui tiga suku pertama membentuk barisan geometri dan tiga suku
terakhir membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai x + y.
5. Sebuah bola dijatuhkan dari
ketinggian 1 meter. Setiap kali sesudah jatuh mengenai lantai, bola itu
dipantulkan lagi dan mencapai ¾ dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang
seluruh jalan yang dilalui bola itu sampai berhenti.

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk
mengikuti tes untuk enguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan
dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke
topik/modul berikutnya.

MGMP
Matematika Kota Semarang, 2006. Matematika SMA/MA
Kelas XII Program Ilmu Pengetahuan Sosial, Semarang : PT Mascom Graphy, Semarang.
Post a Comment for "MODUL BARISAN DAN DERET"
terima kasih atas kunjungannya, info lebih lanjut bisa ditanyakan melalui contact person yang tersedia